Was haben ein Rettungsring, ein Toilettensitz und eine Kaffeetasse gemeinsam? Topologisch betrachtet haben sie alle die Form eines Doughnuts oder Torus, also eines dreidimensionalen Gebildes mit genau einem „Henkel“ oder „Loch“. Denn die Topologie ist das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit solchen allgemeinsten Eigenschaften geometrischer Gebilde beschäftigt. Und weil Topologen wie alle Mathematiker ein Faible für Optimierung haben, stellte sich die Frage: Wie viele Faltungen sind mindestens nötig, um einen Torus aus einem flachen Blatt Papier zu konstruieren?Das ist möglich, weil es eben nicht auf eine knickfrei gewölbte Oberfläche ankommt, sondern nur auf die grundlegende topologische Struktur des Faltprodukts, also darauf, dass die resultierende Papierfläche ein dreidimensionales Volumen umschließt – und es genau ein Loch gibt.Eine optimale Lösung lieferte nun Richard Evan Schwartz, Professor für Mathematik an der Brown University in Rhode Island. In seiner Veröffentlichung in den „Proceedings of the National Academy of Sciences“ (PNAS) zeigt er, dass sich der Origami-Torus mit acht Knotenpunkten bauen lässt – mit sieben aber nicht. Die Konstruktion besteht dann aus 16 Dreiecken und 24 Kanten.Das topologische „Loch“ ist dabei ein dreieckiger Gang, der durch das Faltgebilde hindurchgeht und sich dabei zur Mitte hin stark verengt und dann wieder weitet. „Wenn man es so groß macht wie ein Haus, dann sind es dann vielleicht noch zwei Inches (etwa fünf Zentimeter), durch die man hindurchkriechen könnte“, erklärt Schwartz.Das Problem, das topologische Äquivalent eines Torus aus ebenen Flächenstücken zu konstruieren, ist in der Mathematik schon lange bekannt. Bereits im Jahr 1949 konstruierte Ákos Császár einen topologischen Torus mit sieben Knotenpunkten. Das Faltmuster dazu lässt sich jedoch nicht auf einem flachen Blatt Papier darstellen. Schwartz’ Arbeit zeigt nun, dass man dafür zumindest acht Knotenpunkte benötigt.Unmöglichkeiten sind schwer zu beweisenOptimierungsprobleme wie dieses spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine Rolle. Es geht darum, die einfachste Struktur zu finden, die gewisse Eigenschaften erfüllt. Häufig führen die Lösungen zu einem tieferen Verständnis der untersuchten Strukturen. Dabei ist es oft schwierig, etwas für mathematisch unmöglich zu erklären. Denn um eine Unmöglichkeits-Behauptung zu widerlegen, reicht es, ein einziges Beispiel zu finden.Genau das hat Schwartz in seiner Untersuchung getan. Er faltete aber nicht einfach Tausende Blätter – stattdessen nutzte er sogenannte Bergsteigeralgorithmen. Dabei gibt man eine annähernd richtige Konstruktion vor, die der Algorithmus dann zu optimieren versucht. Nach vielen Wiederholungen ergab sich schließlich eine exakte Lösung.„Es ist vielleicht das erste Mal, dass ein solches Origami-Geometrie-Problem auf diese Art und Weise gelöst wurde“, sagt Schwartz. Den Ansatz nennt der Mathematiker „betreutes maschinelles Lernen“ und vergleicht ihn mit einem engen Tunnel: „Du kannst dich nicht mit roher Gewalt durchzwängen. Man muss sich immer von den Wänden abstoßen und den richtigen Weg finden.“Die Bedeutung von Computern in der Mathematik nimmt stetig zu. Während sie früher vor allem lästige Rechenarbeit übernahmen, helfen sie heute längst bei abstrakten Problemen. Kürzlich war es dem dreiundzwanzigjährigen Liam Price ohne fortgeschrittene Kenntnisse der Mathematik gelungen, ein sechzig Jahre altes Problem mithilfe des Chatbots ChatGPT zu lösen. Auch Schwartz ist optimistisch: „Möglicherweise werden diese Programme in ein paar Jahren in der Lage sein, viele Probleme dieser Art zu lösen.“ Der Torus zum SelberbauenHier können Sie sich die Faltanleitung herunterladen, den Bogen ausdrucken und dann basteln. Viel Spaß