Dato il quadrilatero ABCD inscritto nel cerchio, dimostrare perché il prodotto delle diagonali AC e BD è uguale alla somma dei prodotti AB·CD e AD·BC.
Tracciamo, dal punto B, la retta che forma col lato AB un angolo uguale all’angolo CBD e chiamiamo E il punto in cui questa retta interseca la diagonale AC.
Il triangolo ABE risulta simile al triangolo DBC e quindi AB/AE = BD/CD o AB·CD = AE·BD.
Aggiungiamo ora a ciascuno degli angoli ABE e CBD (uguali per costruzione) l’angolo EBD e consideriamo i triangoli ABD e EBC.
Dal momento che l’angolo ABD è uguale all’angolo EBC, i due triangoli ABD e EBC sono simili, per cui BC/CE = BD/AD o BC·AD = CE·BD. Se sommiamo AB·CD = AE·BD e BC·AD = CE·BD otteniamo AB·CD + BC·AD = BD·(AE+CE). Dal momento che AE+CE = AC, AB·CD + BC·AD = BD·AC.
